Sistemas hojas "Álgebra (I, II, III, IV)"

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales se puede hacer empleando matrices. Para ello escribiremos la matriz correspondiente al sistema de forma que cada columna esté compuesta por los valores asociados a cada una de las incógnitas por lo que en el caso de que haya 3 incógnitas (x, y, z) habrá 3 columnas y una cuarta formada por los coeficientes independientes.
Para resolver el sistema:

1.     Comprobamos si el sistema es compatible, para ello, usamos el Teorema de Rouché-Fröbenius, que determina que: 

o   si el rg(A)=rg(A*) el sistema será compatible

·        En el caso de que el número de incógnitas sea igual al rango (n=r) este será un sistema compatible determinado, es decir, tendrá una sola solución. 

·        Cuando el rango sea distinto al número de incógnitas (n≠r) será indeterminado y tendrá infinitas soluciones que debemos hallar introduciendo parámetros en función de n (nºde incógnitas) y de r (rango):    nºparámetros = n-r

o   si el rg(A) ≠ rg(A*) el sistema será incompatible y no tendrá solución

           2.     En el caso de que sea compatible podemos resolverlo de varias formas, dos de ellas son:

·         Método de Gauss-Jordan: consiste en triangular a 0 la matriz.

·         Regla de Cramer: solo podemos aplicarla si el sistema es de Cramer:

o    r = rg(A) = rg(A*) = n (compatible determinado)

o    Determinante de A no nulo [A] ≠ 0

Consiste en:

                                  
EJERCICIOS:

•  5. (I)

• 1. (II)

• 3. (II)

• 4. (II)

• 5. (II)

• 9. (III)

• 1. (IV) Problema: Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de carne. Además el precio del kilo de gambas es el doble que el de carne. Si pagamos 18 euros por 3 kilos de tomates, 1 kilo de carne y 250 gramos de gambas, ¿Cuánto pagaríamos por 2 kilos de carne, 1 kilo de tomates y 500 gramos de gambas?

• 1.2. (IV)

• 2. (IV)

• 3. (IV) Problema: El cajero de un banco sólo dispone de billetes de 10, 20 y 50 euros. Hemos sacado 290 euros del banco y el cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. El número de billetes de 10 euros que nos ha dado es el doble que el de 20 euros. Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obtener el número de billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero.

• 4. (IV)

• 5. (IV) Problema: Dividimos un nº de tres cifras ''xyz'', entre la suma de éstas y obtenemos 20 de cociente y 3 de resto. La cifra de las decenas, ''y'', es igual a la mitad de la suma de las otras dos. La cifra de las unidades ''z'', es igual a la suma de las otras dos. Hallar el número ''xyz''.

• 6. (IV)

• 7. (IV) Problema de edades:  La edad en años de Juan es el doble que la suma de las edades de sus hijos: Pedro y Luis. A su vez, Pedro es 3 años mayor que Luis. Si dentro de 10 años la edad del padre sobrepasa en 11 años las edades de sus hijos:

          a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones.

          b) Determina la edad de cada uno de ellos.

• 8. (IV) Problema: Los 30 alumnos de un grupo de 4º de ESO cursan tres asignaturas optativas distintas: Francés, Cultura Clásica y Energías Alternativas. Si dos alumnos de Francés se hubiesen matriculado en Cultura Clásica, entonces estas dos asignaturas tendrían el mismo número de alumnos. Si dos alumnos de Cultura Clásica se hubiesen matriculado en Energías Alternativas, entonces Energías Alternativas tendría el doble de alumnos que Cultura Clásica. Halla el número de alumnos matriculado en cada asignatura.

• 9. (IV)